在数学分析中，函数项级数是数项级数的推广。
目录
1 函数项级数
2 收敛性
3 与函数列的关系
4 一致收敛
5 上下节
6 参考资料
函数项级数[]
设有函数列
{
u
n
(
x
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ u_n(x) \}_{n=1}^\infty}
，且所有函数的定义域的交集非空：
D
=
⋂
n
=
1
∞
D
(
u
n
)
≠
∅
{\displaystyle D = \bigcap_{n=1}^\infty D(u_n) \ne \varnothing}
，我们就称如下的和为一个函数项级数，它的定义域是
D
{\displaystyle D}
。
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
:=
u
1
(
x
)
+
u
2
(
x
)
+
⋯
.
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x) := u_1(x) + u_2(x) + \cdots.}
并称
∑
k
=
1
n
u
k
(
x
)
=
u
1
(
x
)
+
u
2
(
x
)
+
⋯
+
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{k=1}^n u_k(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x)}
是这个函数项级数的
n
{\displaystyle n}
次部分和。
容易知道，当选定一个固定的值
x
=
x
0
{\displaystyle x = x_0}
，函数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n (x)}
就变成了一个数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
0
)
.
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x_0).}
收敛性[]
函数项级数也可以定义数项级数那样的收敛性，它的定义是：
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n (x)}
收敛当且仅当对于任意的
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
，数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
0
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)}
都收敛，这种收敛也被称为逐点收敛或点态收敛，对于一个函数项级数的逐点收敛问题，可以将它转化为对应数项级数的收敛问题。如果能得到在区间
X
{\displaystyle X}
上固定
x
{\displaystyle x}
的所有数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
0
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)}
收敛到
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
，我们就称
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
为函数项级数在
X
{\displaystyle X}
上的和函数，
X
⊆
D
{\displaystyle X \subseteq D}
称为这个函数项级数的收敛域，并有如下记号
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
=
lim
n
→
∞
S
n
(
x
)
=
S
(
x
)
,
∀
x
∈
X
.
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \lim_{n \to \infty} S_n(x) = S(x), \quad \forall x \in X.}
仿照数项级数收敛的定义，函数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n (x)}
在
X
{\displaystyle X}
上收敛于
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
还有以下叙述：
∀
ε
>
0
,
∀
x
0
∈
X
,
∃
N
(
ε
,
x
0
)
∈
N
+
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \forall x_0 \in X, \exists N(\varepsilon, x_0) \in \N^+}
，当
n
>
N
{\displaystyle n > N}
时恒有
|
S
n
(
x
0
)
−
S
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |S_n(x_0) - S(x_0)| < \varepsilon}
，或写作
|
R
n
(
x
0
)
|
=
|
∑
k
=
n
+
1
∞
u
k
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |R_n(x_0)| = \left|\sum_{k=n+1}^\infty u_k(x_0)\right| < \varepsilon}
，其中
R
n
(
x
)
{\displaystyle R_n(x)}
称为函数项级数的
n
{\displaystyle n}
次余和。
与函数列的关系[]
函数项级数和函数列有着密切的关系，正如数列和数项级数那样，一个函数项级数可以认为是某个函数列的构成的数列的前
n
{\displaystyle n}
项和（这里我们就是这样定义函数项级数的），而函数列
{
f
n
(
x
)
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{ f_n (x) \}_{n=1}^\infty}
可以认为是函数项级数
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
−
f
n
−
1
(
x
)
,
f
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x) - f_{n-1}(x) , f_0(x) = 0}
的
n
{\displaystyle n}
次部分和，因此函数列以及函数项级数可以平行研究，或只关注其一，另一个只需稍加推广即可。
一致收敛[]
仅凭收敛这一个条件，就算函数项级数中每个函数都是连续的，也不能推出和函数的连续性，这时需要引入一致收敛的概念。
设函数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n (x)}
，若对任意的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
以及
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
，存在仅和
ε
{\displaystyle \varepsilon}
有关的常数
N
(
ε
)
∈
N
+
{\displaystyle N(\varepsilon) \in \N^+}
，使得当
n
>
N
{\displaystyle n > N}
时恒有
|
S
n
(
x
)
−
S
(
x
)
|
<
ε
|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon
成立，我们就说函数项级数
∑
n
=
1
∞
u
n
(
x
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u_n (x)}
在
X
{\displaystyle X}
上一致收敛于
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
，此外，这个定义还有如下等价表述：
lim
n
→
∞
sup
x
∈
X
|
S
n
(
x
)
−
S
(
x
)
|
=
0
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in X} |S_n(x) - S(x)| = 0}
上式是说，先固定
n
{\displaystyle n}
，求有关
x
{\displaystyle x}
的函数
|
S
n
(
x
)
−
S
(
x
)
|
{\displaystyle |S_n (x) - S(x)|}
在
X
{\displaystyle X}
上的上界，然后得到一个数列，如果这个数列是一个无穷小数列，就说原函数列一致收敛。
一致收敛中的“一致”，从定义中来看是说常数
N
{\displaystyle N}
的选择不依赖于
x
{\displaystyle x}
，所有的
x
{\displaystyle x}
表现的行为有“一致性”，这样可以在区间上利用
N
{\displaystyle N}
对函数项级数做整体把握，因此一致收敛是一个整体性质，而收敛性质是局部性质。
上下节[]
上一节：函数列
下一节：一致收敛参考资料欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
级数论（学科代码：1103430，GB/T 13745—2009）
数项级数
数项级数 ▪ 调和级数 ▪ 任意项级数（Leibniz 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法） ▪ 收敛级数的运算 ▪ 无穷乘积 ▪ 母函数
正项级数
正项级数收敛判别法：d' Alembert 判别法 ▪ Gauss 判别法 ▪ 比值判别法 ▪ 对数判别法 ▪ Sapagof 判别法 ▪ Kummer 判别法 ▪ 凝聚判别法 ▪ Frink 判别法 ▪ Ermakof 判别法 ▪ Lobatchevski 判别法
函数项级数
函数列 ▪ 函数项级数 ▪ 一致收敛 ▪ Bernstein 多项式 ▪ Weierstrass 逼近定理
幂级数
幂级数 ▪ 泰勒级数 ▪ Cauchy-Hadamard 定理
Fourier 级数
离散 Fourier 变换 ▪ 快速 Fourier 变换
所在位置：数学（110）→ 数学分析（11034）→ 级数论（1103430）